插值函数

线性插值函数

$$lerp(y_1, y_2, weight) = y_1 + (y_2 - y_1) \times weight$$

其中 $weight$ 是一个在 [0, 1] 区间的实数，倒不是因为取更大的值后这个函数就无定义了，而是因为取了更大的值，这个函数就失去了我们构造它的理由，另外，CG 会限制 $weight$ 的值在 [0, 1] 的范围内，超过这个范围会被留在边界 0 或者边界 1。

这里 $y_1$ 被称为起点，而 $y_2$ 被称为终点，lerp 函数就是取值 $y_1$ 到 $y_2$ 中间的一个值。取值由 $weight$ 来控制，当 $weight$ 为 0.5 时，取值刚好在起点和终点之间。为了更加方便理解，可以把公式写成这种形式：

$$lerp(y_1, y_2, weight) = (1 - weight) \times y_1 + weight \times y_2$$

简单来说，lerp 函数是在 $y_1$ 和 $y_2$ 之间过渡。$y_1$ 和 $y_2$ 可以是一个值，也可以是一个函数。比如，我们可以在正弦函数和线性函数之间做过渡，我们先看一下正弦函数：

再看一下最简单的线性函数 $y = x$

在它俩之间过渡，我们只需要使用 $lerp(\sin x, x, 0.5)$ 即可。当然可以调整 $weight$ 参数观察不同的结果。

当 $y_1$ 和 $y_2$ 分别为两个点时，结果就是两点间的位置。

贝塞尔曲线

当有 $A$、$B$、$C$ 三个点且有 $D$ 为从 $A$ 到 $C$ 上权重为 $t$ 的插值，$E$ 为从 $C$ 到 $B$ 上权重为 $t$ 的插值，点 $F$ 为从 $D$ 到 $E$ 上权重为 $t$ 的插值，则点 $F$ 是以 $A$ 为起点、$B$ 为终点、$C$ 为控制点的二阶贝塞尔曲线上的一点。

同理，当有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个点，$E$ 为从 $A$ 到 $C$ 上权重为 $t$ 的插值，$F$ 为从 $C$ 到 $D$ 上权重为 $t$ 的插值，$G$ 为从 $D$ 到 $B$ 上权重为 $t$ 的插值，且 $H$ 为从 $E$ 到 $F$ 上权重为 $t$ 的插值，$I$ 为从 $F$ 到 $G$ 上权重为 $t$ 的插值，$J$ 为从 $H$ 到 $I$ 上权重为 $t$ 的插值，则点 $J$ 是以 $A$ 为起点、$B$ 为终点、$C$ 和 $D$ 为控制点的三阶贝塞尔曲线上的一点。

二阶贝塞尔曲线公式推导

由 $f(p_0, p_1, t) = (p_1 - p_0) \times t + p_0$ 可得：

$$\begin{aligned} D &= (C - A)t + A\\ E &= (B - C)t + C\\ F &= (E - D)t + D\\ &= (((B - C)t + C) - ((C - A)t + A)t + ((C - A)t + A))\\ &= (At + Bt -2Ct + C - A)t + Ct - At + A\\ &= (t - 1)^2A + t^2B + 2t(1 - t)C\\ \\ B(t) &= (1 - t)^2A + t^2B + 2t(1 - t)C, t \in [0, 1] \end{aligned}$$

三阶贝塞尔曲线公式推导

由 $f(p_0, p_1, t) = (p_1 - p_0) \times t + p_0$ 可得：

$$\begin{aligned} E &= (C - A)t + A\\ F &= (D - C)t + C\\ G &= (B - D)t + D\\ \end{aligned}$$

$H$ 可以看作以 $A$ 为起点、$D$ 为终点、$C$ 为控制点的二阶贝塞尔曲线上的点，$I$ 可以看作以 $C$ 为起点、$B$ 为终点、$D$ 为控制点的二阶贝塞尔曲线上的点，所以由二阶贝塞尔曲线公式可得：

$$\begin{aligned} H &= (F - E)t + E\\ &= (1 - t)^2A + t^2D + 2t(1 - t)C\\ \\ I &= (G - F)t + F\\ &= (1 - t)^2C + t^2B + 2t(1 - t)D\\ \\ J &= (I - H)t + H\\ &= (((1 - t)^2C + t^2B + 2t(1 - t)D) - ((1 - t)^2A + t^2D + 2t(1 - t)C))t + ((1 - t)^2A + t^2D + 2t(1 - t)C)\\ &= (1 - t)^3A + t^3B + 3t(1 - t)^2C + 3t^2(1 - t)D\\ \\ B(t) &= (1 - t)^3A + t^3B + 3t(1 - t)^2C + 3t^2(1 - t)D, t \in [0, 1] \end{aligned}$$

或者 $J$ 也可以看作以 $E$ 为起点、$G$ 为终点、$F$ 为控制点的二阶贝塞尔曲线上的点，由二阶贝塞尔曲线公式可得：

$$\begin{aligned} E &= (C - A)t + A\\ F &= (D - C)t + C\\ G &= (B - D)t + D\\ J &= (1 - t)^2E + t^2G + 2t(1 - t)F\\ &= (1 - t)^2((C - A)t + A) + t^2((B - D)t + D) + 2t(1 - t)((D - C)t + C)\\ &= (1 - t)^3A + t^3B + 3t(1 - t)^2C + 3t^2(1 - t)D\\ \\ B(t) &= (1 - t)^3A + t^3B + 3t(1 - t)^2C + 3t^2(1 - t)D, t \in [0, 1] \end{aligned}$$

阶梯插值函数

step 函数的逻辑是

step(a, x){
    if(x < a)
        return 0;
    else
        return 1;  
}

平滑阶梯插值函数

smoothstep 函数可以用来生成 0 到 1 的平滑过渡值，它也叫平滑阶梯函数。smoothstep 函数的定义是

float smoothstep(float a, float b, float x) 
{
  x = clamp((x - a) / (b- a), 0.0, 1.0); 
  return x * x * (3 - 2 * x);
}

简单来说就是：

• 在 a < b 的情况下，当 x < a 时，返回 0，当 x > b 时，返回 1，否则在 0 和 1 之间平滑过渡：

• 在 a > b 的情况下，当 x < b 时，返回 1，当 x > a 时，返回 0，否则在 0 和 1 之间平滑过渡：

两个 smoothstep 进行减法运算可以得到一些波形图，例如 smoothstep(1, 2, x) - smoothstep(2, 3, x):

想要增加波峰的持续宽度，可以构造 smoothstep(1, 2, x) - smoothstep(3, 4, x)：